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AMC12數學競賽核心知識點

1. 代數（占比30%）

AMC12的代數部分要求熟練掌握多項式、函數、方程與不等式的高階應用，重點包括：

? 多項式理論：因式分解、韋達定理、復數根的性質；

? 函數變換：對數函數、指數函數、三角函數（如正弦定理、余弦定理）；

? 數列與級數：遞推關系、等差數列與等比數列求和、極限初步。

典型題目：求解高次方程、函數圖像分析、數列極限問題。

2. 幾何（占比25%）

涵蓋平面幾何與解析幾何，難度顯著高于AMC10：

? 圓與三角形：圓冪定理、塞瓦定理、梅涅勞斯定理；

? 立體幾何：空間幾何體體積與表面積計算（如球、圓錐）；

? 解析幾何：直線與圓的方程、參數方程、極坐標應用。

關鍵技巧：靈活運用幾何定理，結合代數方法（如坐標系）簡化問題。

3. 數論（占比20%）

AMC12的數論題目更具挑戰性，常見考點：

? 模運算：費馬小定理、歐拉定理、同余方程；

? 整數性質：最大公約數（GCD）、最小公倍數（LCM）、佩爾方程；

? 進制與位值：不同進制數的轉換與運算。

備考建議：掌握經典數論證明方法（如反證法、數學歸納法）。

4. 組合數學（占比25%）

組合題是高分分水嶺，重點包括：

? 高級計數：容斥原理、生成函數、斯特林數；

? 概率進階：條件概率、馬爾可夫鏈、幾何概率；

? 圖論基礎：歐拉路徑、哈密頓回路、樹的性質。

解題策略：通過構造性證明或遞歸關系簡化復雜問題。

5. 三角學與復數（新增內容）

AMC12獨有的核心模塊：

? 三角恒等式：和差化積、積化和差、萬能公式；

? 復數運算：德摩弗定理、復數幾何意義（復平面）；

? 極坐標與參數方程：曲線繪制與交點分析。

易錯點：注意角度制與弧度制的轉換，避免計算失誤。

6. 微積分預備知識（非考點但有益）

雖不直接考察微積分，但部分題目涉及極限思想：

? 極限概念：數列極限、函數極限的直觀理解；

? 導數應用：通過導數求極值（如優化問題）。

輔助工具：可用于驗證答案或簡化推導過程。

7. 綜合應用與跨學科問題

AMC12壓軸題常融合多領域知識：

? 代數與幾何結合：用坐標系證明幾何定理；

? 數論與組合交叉：模運算解決計數問題；

? 實際應用題：金融數學、物理模型中的數學分析。

AMC12題型設置

AMC12的題目難度通常是遞增的，但大致可以分為以下幾個層次：

1-10題：基礎題，難度較低。

備考策略：考查基本數學概念和簡單應用，需提高做題速度

11-20題：難度逐漸增加，題目更靈活

備考策略：需要仔細讀題，注意題目中的小陷阱

21-25題：高難題，是拉開差距的關鍵

備考策略：需要綜合運用多個知識點，對解題思路的要求更高

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