數學問題解答

Problem 4：你試圖在一個 n + 1 > 2人參加的小比賽中作弊，比賽中，裁判每讀出一道題，等待所有選手寫下答案，電腦給分后，裁判再繼續出下一道題。由于你攻破了電腦系統，每次你可以偷看其他 n個選手的答案，再寫下你自己的。電腦給分時，答案錯誤扣兩分，答案正確不扣分，但由于你高超的黑客技術，你的答案錯誤時只會被扣一分。求證：如果任意時刻你的分數領先第二名2"﹣2 + 1分，則你有辦法最終得第一。

簡單分析 首先可以忽略一切你答對的題目，（因為他們只會拉大你和其他人的差距，忽略后你能得第一 則忽略前你也能）另外 總可以假設你很倒霉，錯了一切題目，故可以認為你的回答永遠錯誤。

于是你的能力可以認為是：看完回答，抄其中一種答案，跟他們一起錯。即選擇一組答案為錯的能力。（詛咒大法）

再簡化分數 可以給每人每道題加一分， 于是你分數永不變，其他人對+1分 錯-1分。要求變為讓其他人永遠不到2的n-2次冪分數

一個簡單的策略是每次讓盡可能多的人扣分，舉栗子發現不行。反思的話是要考慮具體到個人，由于題目可以任意多，所以長期來看 我們要讓每個人都幾乎不得分，要盡可能做抵消操作。

我們執行以下策略：

1看完答案后，選擇答案相同人數較多的一組，判定此答案錯。把本次得分的人記在小本本上。

2若本次有一組答案相同的人在小本本上有，則不執行1，改為讓此答案錯誤，同時在小本本上劃去這組人。

注意到此次得分之人上次（此組人得分那次）均扣分，上次得分之人此次均扣分，故這兩次操作結果相互抵消，可忽略。

由上， 可以看出小本本上的一切小組人數均少于一半，且兩兩不同。于是任何時刻一個人在小本本上至多出現 2的n-2次冪次證畢。