數(shù)學競賽規(guī)劃指南

當下高校更偏重和信任自身的判斷，組織各類學術(shù)活動營進行層層考核，提前識別、篩選出優(yōu)秀學術(shù)活動生進行優(yōu)惠簽約。

對希望沖擊清北的學生而言，僅僅省一等獎已經(jīng)非常難獲得優(yōu)惠，至少需要達到省隊水平。

本文提供給有志于深入學習學術(shù)活動的同學們。

如今，經(jīng)過專業(yè)體系化培養(yǎng)的學術(shù)活動選手和隨便學學學術(shù)活動拓展學習的同學，實力差距越來越大。

搞學術(shù)活動不能再抱有僥幸心態(tài)，學術(shù)活動的規(guī)劃和培養(yǎng)需要及早地確定和進行、一步一個腳印合理地規(guī)劃，并且在合適的時間點判斷自己是否能夠出成績，避免大量時間、精力投入后的陪跑。

可以說，目前大多數(shù)同學和家長的問題在于缺乏規(guī)劃。不清楚每一階段應(yīng)該做什么，該深入的沒深入，該放棄的沒放棄，導致陪跑或者遺憾。

本文給出了一個基本的數(shù)學學術(shù)活動體系構(gòu)建流程，包括重要的時間結(jié)點，分階段的推薦教材，適合學術(shù)活動與否的判斷準則。參考這樣的規(guī)劃，才能夠減低風險，合理選擇。

數(shù)學學術(shù)活動規(guī)劃指南，你需要刷哪些書

『學術(shù)活動培養(yǎng)的三段論』：

第一階段：學術(shù)活動基本知識普及

第二階段，學術(shù)活動體系構(gòu)建

第三階段：追隨命題人的專題講座

Ⅰ.第一階段

第一階段是學術(shù)活動的入門階段，需要把后續(xù)學術(shù)活動中涉及到的數(shù)學知識全面覆蓋，這一目標非常清晰明確。

如果學生的數(shù)學起步早（初三或再之前），我們自然建議第一階段直接解決高考數(shù)學的問題。將高考數(shù)學的內(nèi)容學透徹，達到高考要求，這是最理想的狀態(tài)。數(shù)學學術(shù)活動起步比較早的地區(qū)，比如北京，及早解決高考數(shù)學內(nèi)容非常普遍，可參考以往成員分享：

《學術(shù)活動之路，合理規(guī)劃，明確定位，思進思退 | 創(chuàng)知路低調(diào)成員分享》

然而，大多數(shù)學生的學術(shù)活動學 習，還是起始于初三升高一的升學階段，甚至高一開學之后。一般情況下，學校教練會迅速推進第一階段的學 習。能盡快開始學術(shù)活動體系的構(gòu)建自然是最好的，但部分知識入門及學術(shù)活動體系構(gòu)建同步進行，也是正常的情況。

盡早分離第一、二階段是關(guān)鍵，底線要求：第一階段不得晚于高一上結(jié)束。

如果時間緊張，可以做內(nèi)容上的取舍：

應(yīng)當重點注意的知識是：集合與函數(shù)，三角函數(shù)與解三角形，不等式及證明方法，導函數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，排列組合與常見計數(shù)模型，平面幾何，初等數(shù)論。至于高考課內(nèi)的數(shù)列，立體幾何，平面向量，解析幾何，導數(shù)大題，極坐標和統(tǒng)計知識則可以暫時跳過。

Ⅱ.第二階段的第一個半年

學術(shù)活動體系構(gòu)建的第一個半年，時間通常是高一上學期及高一寒假，你需要完成的事情是：部分一試內(nèi)容的學 習；低難度二試內(nèi)容（代數(shù)及平面幾何）的學 習。

（1）一試

《奧數(shù)教程》高一高二基礎(chǔ)篇

一試的學 習 分為兩個步驟：體系化地學 習 各個章節(jié)的典型結(jié)論及方法；高頻高仿真地磨練解題速度和應(yīng)考能力。前者我們需要分章節(jié)分模塊的體系化教程，后者我們需要優(yōu)質(zhì)模擬的套題。

第二階段的第一個半年，請不要直接做一試模擬題。

對于體系化教程，我們推薦的是華東師范大學出版社出版的《奧數(shù)教程》，注意是高一年級和高二年級的基礎(chǔ)篇。當然，整個系列的高中部分共分三本，分別在封面注明了高一到高三，三個年級。一試部分只在高一年級和高二年級，而且只有基礎(chǔ)篇。

高一年級分冊包括的知識點有：集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量和立體幾何，除了集合包含一定的組合知識，其他的內(nèi)容均為純粹的一試內(nèi)容。高二年級分冊的基礎(chǔ)篇包括：一試難度的不等式，解析幾何和復數(shù)。

第一個半年，你至少需要完成高一年級分冊的多數(shù)內(nèi)容（如函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量等）。第二個半年則是繼續(xù)推進這兩本書的學 習。

（2）代數(shù)

《創(chuàng)知路學術(shù)活動數(shù)學教程——不等式篇》

《奧數(shù)教程》高一高二年級的提高篇

代數(shù)由不等式、數(shù)列、多項式和函數(shù)方程等內(nèi)容構(gòu)成。聯(lián)賽層面上的考察重點是前兩個，圈內(nèi)的學術(shù)活動生一般會將聯(lián)賽代數(shù)題稱為“不等式”和“其他類”。

不等式部分的核心是幾大基本不等式，每個基本不等式的核心又是各自相應(yīng)的經(jīng)典用法（如柯西不等式處理分式的技巧等等）。但不等式部分的問題在于，這里存在亂七八糟的各類復雜不等式和“奇技”。

幸運的是，國內(nèi)（至少聯(lián)賽）對于不等式的要求維持在基本不等式及其經(jīng)典用法層面，故不等式的初學，我并不推薦講解很深入、內(nèi)容量很龐大的書籍。我推薦的是《創(chuàng)知路學術(shù)活動數(shù)學教程——不等式篇》。

其他類則更麻煩，因為它太雜，而且和一試內(nèi)容的分界線并不明顯（比如很多章節(jié)較難的一試題，再難一點兒也可以達到二試的程度）。一般的處理方法是在初期學 習 一試時，就相應(yīng)地見識一些較難的問題，故我推薦你們把《奧數(shù)教程》高一年級和高二年級的提高篇也做一做。

（3）平面幾何

《創(chuàng)知路學術(shù)活動數(shù)學教程——平面幾何篇》

平面幾何的特點是圖形種類豐富，各式各樣的定理結(jié)論層出不窮，這是多數(shù)人都知道的。但他們不知道的是，在這些復雜圖形的背后，幾何有兩條清晰的能力發(fā)展線：以導角相似為代表的順推逆推等純幾何的思路構(gòu)建能力，以三角法為代表的代數(shù)化思路“度量”圖形的計算能力。

圖形和各式結(jié)論只是我們培養(yǎng)這兩種能力的通道，但不是根源。

平面幾何的學習，除了關(guān)注相似、四點共圓和根軸等基本工具外，在余下的部分（如完全四邊形、五心等）中，你不全是為了學會什么定理或結(jié)論去學，你必須追根溯源，發(fā)展兩條能力線。

故我們推薦的是《創(chuàng)知路學術(shù)活動數(shù)學教程——平面幾何篇》。

關(guān)于這一部分的學 習 ，最后啰嗦一句：一試、二試兩部分要同時進行，不能這個月學一試，下個月學平面幾何。一試內(nèi)容的學 習 ，在以后的過程中，每一周都要保證常規(guī)的最低學 習 量，額外的時間搭配較難的二試內(nèi)容學 習 。

Ⅲ.第二階段的第二個半年

學術(shù)活動體系構(gòu)建的第二個半年，時間通常是高一下學期及暑假，你需要完成的事情是：繼續(xù)學 習 一試內(nèi)容；高難度二試內(nèi)容（數(shù)論及組合）的學 習 。

（1）數(shù)論

高中數(shù)學教材選修4-6

《奧數(shù)教程》高三年級

《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷10數(shù)論》

數(shù)論模塊的難度在于知識體系本身，即最初入門的部分。

數(shù)論和幾何類似，有自己龐大且更體系的知識網(wǎng)絡(luò)。但數(shù)論中的知識又不像幾何圖形如此直觀，它非常抽象，有點看不見摸不著，人們學 習 和研究數(shù)論的方法也較為獨特，再加上你小初可能沒有接觸相關(guān)內(nèi)容，這些都導致你欠缺基本的sense，即“數(shù)論感覺”。

因為欠缺直觀感受，故很多初學者，在讀到著名數(shù)論定理時，完全不知所云。

如何培養(yǎng)數(shù)論感覺呢？答案是，去見識大量直觀而鮮明的例子。故我們推薦的第一本數(shù)論書是高中數(shù)學教材選修4-6，這本課內(nèi)教材把一些基本概念講得淺顯易懂。

真正的學術(shù)活動數(shù)論，我推薦的必讀書有兩本：《奧數(shù)教程》高三年級里面的數(shù)論部分（第6-10講以及第19、20講），還有《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷10數(shù)論》，兩本書均由余紅兵老師編寫。

《奧數(shù)教程》這一本，題目簡單基礎(chǔ)，非常適合學術(shù)活動數(shù)論的入門。它的閃亮之處，在于余老師寫下的分析注釋。這些文字一步步引導你深掘問題，這在學術(shù)活動書籍里是絕無僅有的，值得你一個一個字地細看深思。

至于小叢書這一本，它已經(jīng)具有一定的難度了，屬于進階的數(shù)論書。其中的很多題目非常典型和深刻，適合在入門后閱讀。

（2）組合

《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷11組合數(shù)學》

組合也是高難度的數(shù)學學術(shù)活動內(nèi)容，但它的難點與數(shù)論正相反：組合中除了圖論，基本知識及原理都異常簡單（很多原理連小學生都懂），可真正的難點在于，如何在具體題目中運用這些原理。

以算兩次原理為例，它說的是：對于一個對象，我們從兩種不同的角度數(shù)它的數(shù)目，結(jié)果是一樣的。這簡直是廢話。但在實際問題中，為什么需要從兩個角度數(shù)數(shù)，以及如何選取數(shù)數(shù)的角度，里面的學問比原理本身要復雜得多。

市面上優(yōu)秀的組合習題集很多，但令人遺憾的是，沒有適合初學者的組合書籍。最簡單的組合書籍難度也不小，仍不易讀（或許你可以期待一下我們的組合書籍）。

這一部分我目前推薦的書是《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷11組合數(shù)學》，由張垚老師編著。即便是入門書籍，它也已經(jīng)具有了相當?shù)碾y度，能真正看好這本書，組合基礎(chǔ)題肯定是不在話下的。

Ⅳ.第二階段的沖刺期

第二階段的沖刺期，從第一次聯(lián)賽前暑假的中后期，到聯(lián)賽前。

此階段之前的學 習，屬于學術(shù)活動內(nèi)容全面鋪開、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的部分，也是你儲備知識、提高水平的發(fā)酵期。而現(xiàn)在的沖刺期則是驗收成果的時期，直面的是數(shù)學聯(lián)賽。

學生在這一階段會經(jīng)歷一個大爆發(fā)的過程，這一步究竟飛得有多高，直接取決于之前體系化初學內(nèi)容的扎實程度。這一時期，我不再推薦學 習 有新知識的二試書，你可以把前兩個階段沒有刷完的書繼續(xù)跟進。

一試則是這一時期的重中之重，此階段我們推薦優(yōu)質(zhì)模擬題。

《中等數(shù)學》增刊一（全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬題集）

《國內(nèi)外數(shù)學奧林匹克試題精選》

我們在前文已經(jīng)說過，一試學 習 的第二步是“高頻高仿真地磨練解題速度和應(yīng)考能力”，這也是此階段一試練 習 的重點。我們推薦的優(yōu)質(zhì)模擬題是《中等數(shù)學》增刊一（全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬題集）。

用好一試模擬題需要注意以下要點：

第一，一定把它當成模擬考試，而不是刷題。每套題準備答卷，寫好過程，限時完成。

第二，分批次連續(xù)測試。每天一次一試模擬，一批次持續(xù)十天（不要中斷）。每次模擬記錄分數(shù)，分批次觀察整體情況。

第三，適當記錄錯題。每次測試結(jié)束后，針對失分的問題，記錄錯題。會做但做錯的問題要重做直到做對，不會的問題抄下解法整理記錄。

不過，這本模擬題的一個問題是試題質(zhì)量參差不齊。大多數(shù)試題的質(zhì)量還是好的，但少數(shù)確實很過分，距離聯(lián)賽偏差較大。請你自己判斷，整體把握，不好的模擬題不用上心。

如果二試你已經(jīng)完成了體系化學 習，且需要額外的 習 題集，我們推薦《國內(nèi)外數(shù)學奧林匹克試題精選》（以下簡稱《試題精選》）。注意題量很大，選擇一部分刷就行。

Ⅴ.第三階段

第一年的聯(lián)賽是一次檢驗性質(zhì)的考核，不適合深入學 習 的學生請及時退出。如果你的學術(shù)活動目標是保省一，沖省隊、國賽甚至更遠，這一次聯(lián)賽必須考到省二前段，省一更好。

一旦決定深入學 習，你必須投入大量時間精力，下面的推薦強度較大，也符合你現(xiàn)在的定位。請注意，我們前文推薦的那些書，真正看好，就已經(jīng)能夠達到弱省省隊和強省省一等獎的層次。

這一年你需要做的事情是：補一些代數(shù)雜項的學 習；強化組合數(shù)論的能力（核心）；大量練 習 國內(nèi)外賽題。

（1）代數(shù)雜項

《奧數(shù)教程》高三年級

《數(shù)學奧林匹克命題人講座：函數(shù)迭代與函數(shù)方程》

《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷5-不等式的解題方法和技巧》

我們在前文中就已說過，代數(shù)中有很多雜項，而且都不是聯(lián)賽的考點，所以這一部分的學? 習，目的在于國賽而非聯(lián)賽。

多項式部分推薦《奧數(shù)教程》高三年級與多項式相關(guān)的章節(jié)。

函數(shù)方程部分推薦《數(shù)學奧林匹克命題人講座：函數(shù)迭代與函數(shù)方程》（內(nèi)容較多，選看）。

關(guān)于不等式，如果你想練得更多，建議選擇《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷5-不等式的解題方法和技巧》，由蘇勇和熊斌兩位老師合著。

（2）數(shù)論強化

《數(shù)學奧林匹克命題人講座——初等數(shù)論》

數(shù)論方面，只需做好一本書，不用再看其他的書，就可以達到冬令營的難度要求，甚至走得更遠。這本書就是《數(shù)學奧林匹克命題人講座——初等數(shù)論》，由馮志剛編寫，上?？萍冀逃霭嫔绯霭?。

這本書知識講解幾乎可以忽略，遠沒有余老師的書出色，但是這本書涵蓋了大量的 習 題，簡直就是數(shù)論這一塊的黃金題庫，題目的質(zhì)量實在是太高（大多數(shù)都是很難的，尤其是第一章難度最高），一道道刷過來，數(shù)論的能力會有質(zhì)的飛越。

（3）組合強化

《奧賽經(jīng)典——奧林匹克數(shù)學中的組合問題》

《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷13組合極值》

《高中數(shù)學學術(shù)活動專題講座——組合構(gòu)造》

組合方面，我推薦三本書。

推薦首先閱讀的第一本：《奧賽經(jīng)典——奧林匹克數(shù)學中的組合問題》，這是組合這一塊綜合性的大百科全書，除了第一二章可以略看，后五章要認真刷完，題量大，題目質(zhì)量很高，對于組合能力的提升有很大的幫助。

剩下的兩本書，你可以根據(jù)需要選擇其中一本刷。

兩本書是《數(shù)學奧林匹克小叢書高中卷13組合極值》以及《高中數(shù)學學術(shù)活動專題講座——組合構(gòu)造》，都是由馮越峰老師編著。上面收集的問題同樣很精彩，尤其是后者，難度很大，有能力可以兩本都刷，組合多練一些絕對錯不了。

（4）國內(nèi)外賽題

《走向IMO》系列

《中等數(shù)學》增刊二（國內(nèi)外數(shù)學學術(shù)活動試題及精解）

第二年做大量國內(nèi)外賽題是必須的，而且難度要拔高到冬令營及以上（包括美國數(shù)學奧林匹克學術(shù)活動，國家集訓隊測試、國家隊選拔、羅馬尼亞大師杯和IMO）。我們推薦的書有兩套：

《走向IMO》系列。這個系列的書按年份分冊，包括過去一年的聯(lián)賽、東南、西部、女奧、CMO、集訓隊測試、國家隊選拔、俄羅斯數(shù)學奧林匹克、美國數(shù)學奧林匹克、羅馬尼亞大師杯以及IMO。國內(nèi)賽題貼近國內(nèi)的命題風格，請你重視。

《中等數(shù)學》增刊二（國內(nèi)外數(shù)學學術(shù)活動試題及精解）。這本書的國外賽題收錄得更豐富。

如果說高二的聯(lián)賽是夠著去考的話，高三這一年需要以俯視的姿態(tài)回歸。有意的拔高難度，才能在后續(xù)的聯(lián)賽考試中游刃有余。

Ⅵ.第三階段特別注意

未來，在嚴格不允許初中生參加聯(lián)賽的情況下，預計此時，你是第二次參加聯(lián)賽。這一次的備考，大體和第一次相同。但這一部分，你需要額外做好一件事：

把之前刷過的所有書都要過一遍，作為復 習。這個 習 慣很重要，但很多人都沒有這個 習 慣。

第一遍看書時難免走得坑坑洼洼，有些題壓根沒看，有些題當時沒看懂，現(xiàn)在是時候回過頭來料理它們的時候了。你現(xiàn)在可以從一個更高的觀點，去審視原來的問題，想想這道題是怎么來的？它的背后蘊藏了什么東西？這類技巧還經(jīng)常在哪些題中出現(xiàn)？當時我為什么沒有做出來？

一切有意義、有價值的問題，你都可以去思考，然后把你的感悟記下來，這就是總結(jié)，它可以幫助你完善知識網(wǎng)絡(luò)，加深印象，更重要的是它能夠幫助你積累解題經(jīng)驗。另外一個好處就是，當你發(fā)現(xiàn)當年把你虐得死去活來的問題不過就那么回事的時候，心情真是倍兒爽。

Ⅶ.第三階段：從聯(lián)賽到CMO

如果你入選省隊，有資格參加國賽，那么數(shù)學學術(shù)活動之路還能繼續(xù)往前走。聯(lián)賽結(jié)束到國賽開始，還有一段時間，在這個階段，你需要刷的是三本書。

《數(shù)學學術(shù)活動研究教程》上下冊

《奧數(shù)教程學 習 手冊》高三年級

其中兩本是《數(shù)學學術(shù)活動研究教程》的上下冊，還有一本就是《奧數(shù)教程學 習 手冊》高三年級，在解答部分結(jié)束之后有兩個專題：組合問題和數(shù)論問題，題目和注解非常棒。

如果你在國賽當中取得了不錯的成績，升學問題就不用擔心了，我分享的經(jīng)驗也就到此結(jié)束。

最后我想總結(jié)幾點，作為提醒送給你：

學術(shù)活動書在精不在多。這是我一路走來的一大感悟，我用我親身經(jīng)歷和我看見的實例告訴你，很多時候一本書就足夠練好一大塊內(nèi)容，一本書刷好了就可以有驚艷的表現(xiàn)。水平上不來，不是因為你書刷得不夠，而是你刷得不好。

學術(shù)活動書不能光看，一定要自己動筆練 習。很多人 習 慣非常不好，只看不做，很多問題的解答非常精彩，你直接去閱讀和你先動筆試試再去看，收獲的東西是不在一個數(shù)量級上的。

看書的時候要養(yǎng)成動筆記錄想法、觀點的 習 慣。我見過身邊很多人看完的書干凈得像沒看過一樣，做出來了的打個勾，沒做出來的畫個圈，僅此而已。這是很糟糕的 習? 慣。刷題時一定要記錄一切有價值，有意義的東西，可以是不同于解答的新解法，可以是你的思考和感悟，也可以是你的困惑，總之一切你認為的閃光點，都值得記錄。

切忌走馬觀花，但也不能在一個角落過分糾結(jié)。這是兩種極端，有些人看書飄得很高，這樣的人其實什么都學不到，最后注定死得很慘。但也有些人看書過分追求完美，總覺得我要無死角掃平這本書，但這是不可能的，有些難題和偏題，適當跳過也是必須的。

要有書看多遍的習慣。一本書看第二遍的時候，整個感覺都會不一樣，就像處在另外一個境界，很多問題一下就豁然開朗，這樣的體驗非常奇妙，而且能夠給你帶來實質(zhì)性的幫助——經(jīng)驗式解題的形成，對于穩(wěn)定聯(lián)賽成績，避免極端情況的發(fā)生，它具有關(guān)鍵性的作用。

以上就是關(guān)于【數(shù)學競賽規(guī)劃指南】的解答，如需了解學校/賽事/課程動態(tài)，可至翰林教育官網(wǎng)獲取更多信息。

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