2021 AMC12B第25題解析！AMC12B最后一題解析

2021 AMC12B第25題解析！AMC10/12考試已經(jīng)結(jié)束了，大家當(dāng)前需要將重點(diǎn)放在試題解析上，為之后的考試做準(zhǔn)備，下面就一起來看看最后一題是什么，以及我們應(yīng)該如何解析。

Question 25

For n a positive integer, let R(n) be the sum of remainders when n is divided by 2,3,4,5,6,7,8,9,and10. For example, R(15)=1+0+3+0+3+1+7+6+5=26. How many two-digit positive integers n satisfy R(n)=R(n+1)?

首先我們考慮正整數(shù)n除以m的余數(shù)以及n+1除以m的余數(shù)，容易想到，后者要么比前者大1，要么比前者小m-1（此時(shí)n+1為m的倍數(shù)）。

情況1：

如果n是偶數(shù)，則n+1是奇數(shù)，那么對(duì)于所有偶數(shù)m來說，因?yàn)閚+1不可能是m的倍數(shù)，所以n+1除以m的余數(shù)必然會(huì)比n除以m的余數(shù)大1，見下表：

為了使R(n)=R(n+1)，只能取8個(gè)1和一個(gè)-8，但此時(shí)n+1是9的倍數(shù)，那也就是3的倍數(shù)，所以3為除數(shù)會(huì)產(chǎn)生-2而不是1，矛盾。這就說明，n不可能是偶數(shù)。

情況2：

如果n是奇數(shù)，則n+1是偶數(shù)，所以2為除數(shù)會(huì)產(chǎn)生-1。我們繼續(xù)討論，如果n+1是6的倍數(shù)，那么它也是3的倍數(shù)，這樣會(huì)產(chǎn)生-2和-5，而另外幾個(gè)數(shù)加起來最多是+6，這是配不平的；同理n+1也不能是8,9,10的倍數(shù)。這樣，不確定的就只有除數(shù)為4和7的時(shí)候，見下表：

為了使R(n)=R(n+1)，只能取一個(gè)-1，一個(gè)-6和7個(gè)1，此時(shí)n+1是2和7的倍數(shù)，也就是14的倍數(shù)，但不能是3,4,5,6,8,9,10的倍數(shù)。所以在100以內(nèi)滿足這些條件的n+1只有14和98，也就是n=13或97。答案選C。

總體來說，這次的25題沒有往年那么難以想到或者計(jì)算量驚人，只要有一定的數(shù)論基礎(chǔ)，加上細(xì)心和耐心就可以做出來。

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