2022AP微積分AB北美卷FRQ已放出，附考情分析

各位AP小伙伴們好呀~2022年5月9日進(jìn)行的AP微積分AB考試已經(jīng)結(jié)束，本場考試為線下紙筆考試，CB官網(wǎng)已更新了2022AP微積分AB北美FRQ真題。

試卷整體難度點(diǎn)評(píng)
與往年相比，今年2022年北美卷的微積分AB，選擇題和FRQ大題都比較簡單。考察知識(shí)點(diǎn)與考察形式都和往年類似，屬于非常容易能考出高分的卷子，估計(jì)5分成績線會(huì)在69左右甚至更高。

從整體考點(diǎn)而言，與往年類似。常考知識(shí)點(diǎn)仍然集中在Unit5的一階導(dǎo)、二階導(dǎo)與原函數(shù)的關(guān)系、MVT中值定理與IVT介值定理的區(qū)分與應(yīng)用、Unit6的Fundamental theorem of calculus微積分基本定理等。這些在歷年的考察中都分?jǐn)?shù)占比頗多，屬于性價(jià)比較高的知識(shí)點(diǎn)，所以同學(xué)們一定要對(duì)此非常熟悉。

此外選擇部分還考察了關(guān)于limit極限的部分知識(shí)，主要關(guān)于asymptotes漸近線，以及Differentiation的limit定義、Definite Integral的limit等，需要考生對(duì)于微積分的本質(zhì)等有足夠的理解。三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)也仍然是常考難點(diǎn)，所以明年打算備考AP微積分的同學(xué)一定從現(xiàn)在就要開始復(fù)習(xí)or學(xué)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)了。

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逐題分析

?第一題：
本題考察了Accumulation Function 積累函數(shù)相關(guān)的導(dǎo)數(shù)及積分應(yīng)用。題目中給出了從5.AM到10.AM期間，車通過收費(fèi)站的rate為A(t)，并且告知了收費(fèi)站在5.AM時(shí)沒有車輛在等待。也就意味著在t=0時(shí)正在排隊(duì)的車輛數(shù)為0，相當(dāng)于給出了初始值。

(a) 題目要求寫出計(jì)算從t=1到t=5期間排隊(duì)等著通過收費(fèi)站的總車輛數(shù)的積分表達(dá)式。
那我們按照題目要求，寫出對(duì)A(t)在t在1到5之間求積分即可。

(b) 題目要求算出rate的average value。
因?yàn)榻o的函數(shù)就是rate，所以我們用average value公式進(jìn)行計(jì)算即可，對(duì)A(t)求積分并除以區(qū)間長度。

(c) 題目問在t=6時(shí)的rate是增還是減。
那我們求出rate的變化率，看是正or負(fù)即可。所以對(duì)A(t)求在t=6時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，正即increasing，負(fù)即decreasing。

(d) 題目給出了一個(gè)堵車時(shí)劃線的條件，并給出了在t=a到t=4之間線內(nèi)車輛數(shù)的模型N(t)。要求求出在線內(nèi)車輛數(shù)的最大值，并近似到整數(shù)。
既然是最大值，那此題就是最值問題，所以我們對(duì)N(t)求導(dǎo)，得到N’(t)=A(t)-400，之后再用求最值的方法，求出極大值，并與端點(diǎn)值相比較，找出最大值即可。別忘了近似到整數(shù)～

第二題：
本題考察了Unit8求面積、體積等相關(guān)問題，并且靈活考察了關(guān)于related rate的內(nèi)容。對(duì)于vertical distance的考察與2015年國際卷FRQ第4題考點(diǎn)與2018年國際卷FRQ第4題非常類似。

(a) 題目要求算出f與g之間圍成的面積。
由于題目圖像沒有對(duì)f和g做具體區(qū)分，所以我們需要通過f和g的表達(dá)式知道它們的圖像大致形狀，判斷出f在上，g在下。之后在-2到1之間對(duì)f-g求定積分即可。

(b) 題目要求算出f與g之間的vertical distance在x=-0.5時(shí)是增還是減。
對(duì)h(x)=f(x)-g(x)在t=-0.5時(shí)求導(dǎo)數(shù)值即可，正即為increasing，負(fù)即為decreasing。

(c) 題目以f和g之間為出的面積為solid的base，每個(gè)cross section形狀是垂直于x軸的正方形，求solid體積。
這個(gè)題的考察相當(dāng)基礎(chǔ)，形狀是大家最熟悉的正方形，方向也是垂直于x軸。所以算出截面面積為(f-g)的整體平方，即正方形的面積，之后對(duì)截面面積算定積分即可。

(d) 題目利用c問中的vertical line作為探究的對(duì)象，要求算一個(gè)related rate相關(guān)變化率的問題。
兩個(gè)變量為f-g與截面面積，那利用相關(guān)變化率的解決辦法正常求導(dǎo)代值即可。

第三題：
本題考察了Unit5與Unit6的聯(lián)合應(yīng)用，也是每年必考的題目類型，涉及到積分含義、一階導(dǎo)與二階導(dǎo)應(yīng)用、極值最值問題等。

(a) 題目要求算出f(0)和f(5)的值。
由于題目給出了f(4)=3，并給出了f’導(dǎo)數(shù)的圖像，所以利用微積分基本定理就可以算出想要的結(jié)果。

(b) 題目要求得到f的point of inflection拐點(diǎn)。
f的拐點(diǎn)就是f‘的增減改變點(diǎn)，所以僅有x=2和x=6。

(c) 題目給出了一個(gè)新函數(shù)g，問g在哪個(gè)區(qū)間為decreasing。
對(duì)g求導(dǎo)得到f‘-1，所以我們需要知道導(dǎo)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間是negative負(fù)的，就能得到答案。

(d) 題目要求算出g的最小值。
那么先通過判斷f'-1的圖像知道哪里是g的極小值點(diǎn)，再算出端點(diǎn)值進(jìn)行比較，最小的值就是最小值。

第四題：
這道題是一個(gè)表格題，表格內(nèi)容基本都會(huì)涉及到approximation估計(jì)的內(nèi)容，這也是歷年的考察重點(diǎn)。

(a) 題目要求估計(jì)r‘的average rate。
利用表格中的數(shù)據(jù)算r’的difference quotient即可。

(b) 題目問是否有某t使得r‘=-6。
由于表格給的就是r’的值，所以這道題考察的應(yīng)該是IVT的應(yīng)用。寫出IVT的條件continuous，并進(jìn)行適當(dāng)解釋就能拿到分?jǐn)?shù)。

(c) 題目要求用right Riemann sum估計(jì)積分值。
每個(gè)矩形都用right endpoint value來去計(jì)算面積，再加到一起就可以。

(d) 題目給出了關(guān)于cone的體積公式和height的變化率，求體積的變化率。
又是related rate相關(guān)變化率的題目。而求導(dǎo)之后式子中的r‘(t)可以從表格中找到，所以這里稍微靈活了一些。但如果對(duì)相關(guān)變化率足夠熟悉，也是能拿到對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)的。

第五題：
這道題是考察differential equation微分方程及相關(guān)應(yīng)用的題目。本題考點(diǎn)也比較基礎(chǔ)，沒有太多靈活的部分。

(a)?題目給出了slope field圖，并要求畫出過特定點(diǎn)的solution圖像。
根據(jù)slope field的趨勢(shì)畫出圖像即可。這種畫圖題現(xiàn)在基本每年都會(huì)考察，大家還是要在平時(shí)的練習(xí)中做好積累。

(b) 題目要求寫出過(1,2)點(diǎn)的切線方程，并用它來估計(jì)函數(shù)值。
利用微分方程求出slope，再寫出切線方程，之后代入x=0.8，就能估計(jì)出函數(shù)值。

(c) 題目給出了二階導(dǎo)大于0，問b小問中的估計(jì)是overestimate高估還是underestimate低估。
由于二階導(dǎo)大于0，所以f是concave up的，那么linear approximation就應(yīng)該是underestimate低估的。

(d) 題目要求用separation of variables分離變量法來求出particular solution。
用分離、積分、算c、整理的步驟就能得到結(jié)果。這道題的難點(diǎn)在于積分比較難算，所以需要同學(xué)們有較好的積分運(yùn)算能力。

第六題：
這道題終于考察了Motion運(yùn)動(dòng)問題，該考點(diǎn)也是往年必考的內(nèi)容，整體考察也很基礎(chǔ)。題目給出了P沿著x軸運(yùn)動(dòng)的position function，也給出了Q沿著y軸運(yùn)動(dòng)的velocity function。

(a) 題目要求算出P的velocity function。
對(duì)P的position求導(dǎo)即可。

(b) 題目要求算出Q的acceleration加速度。
先對(duì)Q的velocity求導(dǎo)就可以得到。之后還需要知道speed在哪里是decreasing的，所以需要找到v和a在哪個(gè)區(qū)間是異號(hào)的，即v正時(shí)a負(fù)，v負(fù)時(shí)a正，找到公共區(qū)間就能得到答案。

(c) 題目要求算出Q的position function。
我們對(duì)Q的velocity求積分，再代入position的初始值就能得到答案。

(d) 題目問當(dāng)t趨近于無窮時(shí)，哪個(gè)物體會(huì)遠(yuǎn)離原點(diǎn)。
那也就是問t趨近于無窮時(shí)，哪個(gè)物體的position會(huì)越來越大，也就是increasing。所以看P和Q誰的velocity在t趨近于無窮時(shí)會(huì)大于0即可。

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