從數(shù)學家愛上消防員說起——AMC（美國數(shù)學競賽）里面的那些面積問題

數(shù)學家救火法 的名字來源于著名的網(wǎng)絡(luò)段子：

一天，數(shù)學家覺得自己已受夠了數(shù)學，于是他跑到消防隊去宣布他想當消防員。消防隊長說：“您看上去不錯，可是我得先給您一個測試。”

消防隊長帶數(shù)學家到消防隊后院小巷，巷子里有一個貨棧，一只消防栓和一卷軟管。消防隊長問：“假設(shè)貨棧起火，您怎么辦？”數(shù)學家回答：“我把消防栓接到軟管上，打開水龍，把火澆滅。”消防隊長說：“完全正確！最后一個問題：假設(shè)您走進小巷，而貨棧沒有起火，您怎么辦？”
數(shù)學家疑惑地思索了半天，終于答道：“我就把貨棧點著。”消防隊長大叫起來：“什么？太可怕了！您為什么要把貨棧點著？”數(shù)學家回答：“這樣我就把問題化簡為一個我已經(jīng)解決過的問題了。”

 

AMC數(shù)學里面常常會碰到不規(guī)則圖形的面積求解問題。不規(guī)則平面圖形的面積并沒有現(xiàn)成的公式，在不用積分的情況之下，我們只能將其轉(zhuǎn)化為已知公式的幾何圖形面積求解，可以將其分割，也可以將它補齊。這與這位愛上消防員職業(yè)的數(shù)學家的思路如出一轍，也是我們在學習新知識時常用到的幾種非常有效的邏輯之一。

 

 

 

我們先來回顧一下平面幾何里面常見的幾個面積公式：

 

1.三角形：

 

上圖中，r 是△ABC內(nèi)切圓的半徑，R是△ABC三角形外接圓的半徑，h則是△ABC底邊a上的高，s代表△ABC周長的一半，sinc代表∠C的正弦值。

此外，如果我們知道△ABC每條邊的長度，那么我們還可以用海倫公式來計算。見下圖：

 

 

 

 

 

2.四邊形：

 

 

 

這是一個任意四邊形（與之相對的是對角互補的圓內(nèi)接四邊形），s代表四邊形周長的一半，θ則表示四邊形對角和的一半。

 

 

這時候很容易發(fā)現(xiàn)，當θ=90°時，即四邊形的對角互補，此時四邊形為圓內(nèi)接四邊形。

此時四邊形的面積公式為：

 

 

3.接下來我們來看一道AMC10的試題：

 

 

在正六邊形ABCDEF中，點W、X、Y和Z在邊BC、CD、EF、FA上，使得AB，ZW，YX和ED互相平行并且等距。問新形成的六邊形WCXYFZ和原來的六邊形ABCDEF的面積比例是多少？

按照數(shù)學家愛上消防員的思路，求解新的六邊形面積，我們很容易會想到：

 

1. 連接FC,將新的正六邊形分解成兩個等面積的梯形；
2. 連接ZY,WX，將其分解成兩邊等面積的等腰梯形和中間的長方形；
3. 分別過F和C點做ZW的平行線，延長ZW,YX，補齊得到一個長方形，接著減去四個角上的三角形等等

 

接著再把大六邊形的面積計算出來，然后求兩個面積的比值。

上面提到的這些方法，都是很好的解題思路。

 

但是，這些是不是最好的辦法呢？

 

還有沒有更好的方法呢？？？

 

給大家思考幾秒的時間。。。

 

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7

 

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9

 

10

 

這里給大家提供一種不需要計算，只需要畫圖，然后再數(shù)格子的方法：

 

 

4.講到最后，這里交給大家一個如此不規(guī)則堪稱爆炸的平面圖形，如圖所示：

這又要怎么求解呢？

請看下一篇文章：從數(shù)學家愛上消防員說起 - CEMC里面的那些體積問題

 

 

 

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