陶哲軒：什么是好數學？

譯者序：

本文譯自澳大利亞數學家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?” (arXiv:math/0702396v1 [math.HO])。 Tao 是調和分析、 微分方程、 組合數學、 解析數論等領域的大師級的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數學界的最高獎 Fields 獎， 成為該獎項七十年來最年輕的獲獎者之一。 美國數學學會 (AMS) 對 Tao 的評價是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的獨創及令人驚訝的自然觀點融為一體”。 著名數學家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎得主) 的評價則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 Tao 雖然已經具有了世界性的聲譽， 但由于他的年輕， 多數人 (尤其是數學界以外的人) 對他的了解仍很有限。

Tao 的這篇短文在一定程度上闡述了他的數學觀， 在這點上類似于英國數學家 Hardy 的名著《A Mathematician's Apology》， 相信會讓許多讀者感興趣 (如果哪位讀者想接受 Fefferman 的忠告， 讓自己的問題有朝一日引起 Tao 的興趣， 那么讀一讀這篇文章可能會有所助益:-)。 不過 Tao 的這篇文章遠比《A Mathematician's Apology》難讀得多。 從表面上看， 它不帶任何數學公式， 這點甚至比《A Mathematician's Apology》做得更為徹底 (后者還帶有一些諸如 12+12=2 之類的公式)， 但實際上， 文章的主要部分 - 即第二節 (對應于譯文?中篇?的全部及?下篇的大部分) - 所涉及的數學概念相當密集， 足以給非數學專業的讀者造成很大的困難， 因此譯文對譯者知識所及且能用簡短方式加以說明的若干概念進行了注釋。

1. 數學品質的諸多方面

我們都認為數學家應該努力創造好數學。 但 “好數學” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數學都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數學” 可以指 (不分先后順序)：

 

1. 好的數學題解 (比如在一個重要數學問題上的重大突破)；
2. 好的數學技巧 (比如對現有方法的精湛運用， 或發展新的工具)；
3. 好的數學理論 (比如系統性地統一或推廣一系列現有結果的概念框架或符號選擇)；
4. 好的數學洞察 (比如一個重要的概念簡化， 或對一個統一的原理、 啟示、 類比或主題的實現)；
5. 好的數學發現 (比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數學現象、 關聯或反例的揭示)；
6. 好的數學應用 (比如應用于物理、 工程、 計算機科學、 統計等領域的重要問題， 或將一個數學領域的結果應用于另一個數學領域)；
7. 好的數學展示 (比如對新近數學課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個清晰而動機合理的論證)；
8. 好的數學教學 (比如能讓他人更有效地學習及研究數學的講義或寫作風格， 或對數學教育的貢獻)；
9. 好的數學遠見 (比如富有成效的長遠計劃或猜想)；
10. 好的數學品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標)；
11. 好的數學公關 (比如向非數學家或另一個領域的數學家有效地展示數學成就)；
12. 好的元數學 (比如數學基礎、 哲學、 歷史、 學識或實踐方面的進展)；?[譯者注： 此處 “元數學” 譯自 “meta-mathematics”， 不過這里所舉的有些內容， 如歷史、 實踐等， 通常并不屬于元數學的范疇。]
13. 嚴密的數學 (所有細節都正確、 細致而完整地給出)；
14. 美麗的數學 (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結果)；
15. 優美的數學 (比如 Paul Erd?s 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結果)；?[譯者注： “來自天書的證明” 譯自 “proofs from the Book”。?Paul Erd?s?喜歡將最優美的數學證明說成是來自 “the Book” (我將之譯為 “天書”)， 他有這樣一句名言： 你不一定要相信上帝， 但應該相信 “the Book”。?Erd?s?去世后的第三年， 即 1998 年，?Martin Aigner?和?Günter M. Ziegler?以《Proofs from THE BOOK》為書名出版了一本書， 收錄了幾十個優美的數學證明， 以紀念?Erd?s。]
16. 創造性的數學 (比如本質上新穎的原創技巧、 觀點或各類結果)；
17. 有用的數學 (比如會在某個領域的未來工作中被反復用到的引理或方法)；
18. 強有力的數學 (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結果， 或從一個看起來很弱的假設推出一個強得出乎意料的結論)；
19. 深刻的數學 (比如一個明顯非平凡的結果， 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現象)；
20. 直觀的數學 (比如一個自然的、 容易形象化的論證)；
21. 明確的數學 (比如對某一類型的所有客體的分類； 對一個數學課題的結論)；
22. 其它。

上述列舉無意以完備自居。 尤其是， 它主要著眼于研究性數學文獻中的數學， 而非課堂、 教材或自然科學等接近數學的學科中的數學。

 

如上所述， 數學品質這一概念是一個高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標準排序。

特別值得指出的是數學嚴格性雖然非常重要， 卻只是界定高品質數學的因素之一。

我相信這是由于數學本身就是復雜和高維的， 并且會以一種自我調整及難以預料的方式而演化； 上述每種品質都代表了我們作為一個群體增進對數學的理解及運用的不同方式。 至于上述品質的相對重要性或權重， 看來并無普遍的共識。 這部分地是由于技術上的考慮： 一個特定時期的某個數學領域的發展也許更易于接納一種特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考慮： 任何一個特定的數學領域或學派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數學家。 它同時也反映了數學能力的多樣性： 不同的數學家往往擅長不同的風格， 因而適應不同類型的數學挑戰。

 

我相信 “好數學” 的這種多樣性和差異性對于整個數學來說是非常健康的， 因為它允許我們在追求更多的數學進展及更好的理解數學這一共同目標上采取許多不同的方法， 并開發許多不同的數學天賦。 雖然上述每種品質都被普遍接受為是數學所需要的品質， 但犧牲其它所有品質為代價來單獨追求其中一兩種卻有可能變成對一個領域的危害。 考慮下列假想的 (有點夸張的) 情形：

• 一個領域變得越來越華麗怪異， 在其中各種單獨的結果為推廣而推廣， 為精致而精致， 而整個領域卻在毫無明確目標和前進感地隨意漂流。
• 一個領域變得被令人驚駭的猜想所充斥， 卻毫無希望在其中任何一個猜想上取得嚴格進展。
• 一個領域變得主要通過特殊方法來解決一群互不關聯的問題， 卻沒有統一的主題、 聯系或目的。
• 一個領域變得過于枯燥和理論化， 不斷用技術上越來越形式化的框架來重鑄和統一以前的結果， 后果卻是不產生任何令人激動的新突破。
• 一個領域崇尚經典結果， 不斷給出這些結果的更短、 更簡單及更優美的證明， 但卻不產生任何經典著作以外的真正原創的新結果。

 

在上述每種情形下， 有關領域會在短期內出現大量的工作和進展， 但從長遠看卻有邊緣化和無法吸引更年輕的數學家的危險。 幸運的是， 當一個領域不斷接受挑戰， 并因其與其它數學領域 (或相關學科) 的關聯而獲得新生， 或受到并尊重多種 “好數學” 的文化熏陶時， 它不太可能會以這種方式而衰落。 這些自我糾錯機制有助于使數學保持平衡、 統一、 多產和活躍。

 

現在讓我們轉而考慮前面提出的另一個問題， 即我們到底該不該試圖對 “好數學” 下定義。 下定義有讓我們變得傲慢自大的危險， 特別是， 我們有可能因為一個真正數學進展的奇異個例不滿足主流定義而忽視它。

一個相關的困難是， 除了數學嚴格性這一引人注目的例外， 上述品質大都有點主觀， 因而含有某種不精確性與不確定性。 我們感謝 Gil Kalai 強調了這一點。

另一方面， 相反的觀點 - 即在任何數學研究領域中所有方法都同樣適用并該得到同樣資源，

稀缺資源的例子包括錢、 時間、 注意力、 才能及頂尖刊物的版面。

或所有數學貢獻都同樣重要 - 也是有風險的。 那樣的觀點就其理想主義而言也許是令人欽佩的， 但它侵蝕了數學的方向感和目的感， 并且還可能導致數學資源的不合理分配。

這一問題的另一個解決方法是利用數學資源也是多維這一事實。 比如人們可以為展示、 創造性等等設立獎項， 或為不同類型的成果設立不同的雜志。 我感謝 Gil Kalai 對這一點的洞察。

真實的情形處于兩者之間， 對于每個數學領域， 現存的結果、 傳統、 直覺和經驗 (或它們的缺失) 預示著哪種方法可能會富有成效， 從而應當得到大多數的資源； 哪種方法更具試探性， 從而或許只要少數有獨立頭腦的數學家去進行探究以避免遺漏。 比方說， 在已經發展成熟的領域， 比較合理的做法也許是追求系統方案， 以嚴格的方式發展普遍理論， 穩妥地延用卓有成效的方法及業已確立的直覺； 而在較新的、 不太穩定的領域， 更應該強調的也許是提出和解決猜想， 嘗試不同的方法， 以及在一定程度上依賴不嚴格的啟示和類比。 因此， 從策略上講比較合理的做法是， 在每個領域內就數學進展中什么品質最應該受到鼓勵做一個起碼是部分的 (但與時俱進的) 調查， 以便在該領域的每個發展階段都能最有效地發展和推進該領域。 比方說， 某個領域也許急需解決一些緊迫的問題； 另一個領域也許在翹首以待一個可以理順大量已有成果的理論框架， 或一個宏大的方案或一系列猜想來激發新的結果； 其它領域則也許會從對關鍵定理的新的、 更簡單及更概念化的證明中獲益匪淺； 而更多的領域也許需要更大的公開性， 以及關于其課題的透徹介紹， 以吸引更多的興趣和參與。 因此， 對什么是好數學的確定會并且也應當高度依賴一個領域自身的狀況。 這種確定還應當不斷地更新與爭論， 無論是在領域內還是從通過旁觀者。 如前所述， 有關一個領域應當如何發展的調查， 若不及時檢驗和更正， 很有可能會導致該領域內的不平衡。

 

上面的討論似乎表明評價數學品質雖然重要， 卻是一件復雜得毫無希望的事情， 特別是由于許多好的數學成就在上述某些品質上或許得分很高， 在其它品質上卻不然； 同時， 這些品質中有許多是主觀而難以精確度量的 (除非是事后諸葛)。 然而， 一個令人矚目的現象是：

 

這一現象與 Wigner 所發現的 “數學的不合理有效性” (unreasonable effectiveness of mathematics) 有一定的關聯。?[譯者注：?Wigner?的這一說法見于他 1960 年發表的文章?The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences。]

上述一種意義上的好數學往往傾向于引致許多其它意義上的好數學， 由此產生了一個試探性的猜測， 即有關高品質數學的普遍觀念也許畢竟還是存在的， 上述所有特定衡量標準都代表了發現新數學的不同途徑， 或一個數學故事發展過程中的不同階段或方面。（未完待續）

 

作者陶哲軒著作：

《陶哲軒教你學數學》

《陶哲軒實分析（第3版）》

 

 

本書論述解決數學問題時會涉及的各種策略、方法，旨在激發青少年對數學的興趣。書中涵蓋的內容包括：數論、代數、分析、歐幾里得幾何、解析幾何。

 

本書是國際知名數學家陶哲軒15歲時的著作，從青少年的角度分析數學問題，主要是數學學術活動等智力謎題，用學生的語言解釋思考過程，完整展現了少年陶哲軒的解題思路。本書啟發性強，既能激發學生的數學興趣、培養思維邏輯，又能充分展現數學的魅力。

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本書主要介紹數學分析中的一些內容，以構造數系和集合論開篇，逐漸深入到級數、函數等高等數學內容，舉例詳實，每部分內容后的習題與正文內容密切相關，有利于讀者掌握所學的內容。本書在附錄部分還介紹了數理邏輯基礎和十進制，突出了嚴格性和基礎性。

以上就是關于【陶哲軒：什么是好數學？】的解答，如需了解學校/賽事/課程動態，可至翰林教育官網獲取更多信息。

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